\(\int (c+d x)^3 \cos (a+b x) \cot ^2(a+b x) \, dx\) [172]

Optimal result

Integrand size = 22, antiderivative size = 216 \[ \int (c+d x)^3 \cos (a+b x) \cot ^2(a+b x) \, dx=-\frac {6 d (c+d x)^2 \text {arctanh}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}+\frac {6 d^3 \cos (a+b x)}{b^4}-\frac {3 d (c+d x)^2 \cos (a+b x)}{b^2}-\frac {(c+d x)^3 \csc (a+b x)}{b}+\frac {6 i d^2 (c+d x) \operatorname {PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {6 i d^2 (c+d x) \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {6 d^3 \operatorname {PolyLog}\left (3,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {6 d^3 \operatorname {PolyLog}\left (3,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {6 d^2 (c+d x) \sin (a+b x)}{b^3}-\frac {(c+d x)^3 \sin (a+b x)}{b} \]

[Out]

-6*d*(d*x+c)^2*arctanh(exp(I*(b*x+a)))/b^2+6*d^3*cos(b*x+a)/b^4-3*d*(d*x+c)^2*cos(b*x+a)/b^2-(d*x+c)^3*csc(b*x
+a)/b+6*I*d^2*(d*x+c)*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))/b^3-6*I*d^2*(d*x+c)*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))/b^3-6*d^3*polyl
og(3,-exp(I*(b*x+a)))/b^4+6*d^3*polylog(3,exp(I*(b*x+a)))/b^4+6*d^2*(d*x+c)*sin(b*x+a)/b^3-(d*x+c)^3*sin(b*x+a
)/b

Rubi [A] (verified)

Time = 0.27 (sec) , antiderivative size = 216, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 13, number of rules used = 8, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.364, Rules used = {4493, 3377, 2718, 4495, 4268, 2611, 2320, 6724} \[ \int (c+d x)^3 \cos (a+b x) \cot ^2(a+b x) \, dx=-\frac {6 d (c+d x)^2 \text {arctanh}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {6 d^3 \operatorname {PolyLog}\left (3,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {6 d^3 \operatorname {PolyLog}\left (3,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {6 d^3 \cos (a+b x)}{b^4}+\frac {6 i d^2 (c+d x) \operatorname {PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {6 i d^2 (c+d x) \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {6 d^2 (c+d x) \sin (a+b x)}{b^3}-\frac {3 d (c+d x)^2 \cos (a+b x)}{b^2}-\frac {(c+d x)^3 \sin (a+b x)}{b}-\frac {(c+d x)^3 \csc (a+b x)}{b} \]

[In]

Int[(c + d*x)^3*Cos[a + b*x]*Cot[a + b*x]^2,x]

[Out]

(-6*d*(c + d*x)^2*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b^2 + (6*d^3*Cos[a + b*x])/b^4 - (3*d*(c + d*x)^2*Cos[a + b*x])/b^
2 - ((c + d*x)^3*Csc[a + b*x])/b + ((6*I)*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^3 - ((6*I)*d^2*(c + d*
x)*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (6*d^3*PolyLog[3, -E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (6*d^3*PolyLog[3, E^(I*(a + b
*x))])/b^4 + (6*d^2*(c + d*x)*Sin[a + b*x])/b^3 - ((c + d*x)^3*Sin[a + b*x])/b

Rule 2320

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 2611

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-(
f + g*x)^m)*(PolyLog[2, (-e)*(F^(c*(a + b*x)))^n]/(b*c*n*Log[F])), x] + Dist[g*(m/(b*c*n*Log[F])), Int[(f + g*
x)^(m - 1)*PolyLog[2, (-e)*(F^(c*(a + b*x)))^n], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 2718

Int[sin[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[-Cos[c + d*x]/d, x] /; FreeQ[{c, d}, x]

Rule 3377

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(-(c + d*x)^m)*(Cos[e + f*x]/f), x]
+ Dist[d*(m/f), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Cos[e + f*x], x], x] /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 4268

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[-2*(c + d*x)^m*(ArcTanh[E^(I*(e + f*
x))]/f), x] + (-Dist[d*(m/f), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 - E^(I*(e + f*x))], x], x] + Dist[d*(m/f), Int[(c +
d*x)^(m - 1)*Log[1 + E^(I*(e + f*x))], x], x]) /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 4493

Int[Cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*Cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Int[
(c + d*x)^m*Cos[a + b*x]^n*Cot[a + b*x]^(p - 2), x] + Int[(c + d*x)^m*Cos[a + b*x]^(n - 2)*Cot[a + b*x]^p, x]
/; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0]

Rule 4495

Int[Cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.)*Csc[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[
(-(c + d*x)^m)*(Csc[a + b*x]^n/(b*n)), x] + Dist[d*(m/(b*n)), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Csc[a + b*x]^n, x], x] /;
FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && EqQ[p, 1] && GtQ[m, 0]

Rule 6724

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = -\int (c+d x)^3 \cos (a+b x) \, dx+\int (c+d x)^3 \cot (a+b x) \csc (a+b x) \, dx \\ & = -\frac {(c+d x)^3 \csc (a+b x)}{b}-\frac {(c+d x)^3 \sin (a+b x)}{b}+\frac {(3 d) \int (c+d x)^2 \csc (a+b x) \, dx}{b}+\frac {(3 d) \int (c+d x)^2 \sin (a+b x) \, dx}{b} \\ & = -\frac {6 d (c+d x)^2 \text {arctanh}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {3 d (c+d x)^2 \cos (a+b x)}{b^2}-\frac {(c+d x)^3 \csc (a+b x)}{b}-\frac {(c+d x)^3 \sin (a+b x)}{b}+\frac {\left (6 d^2\right ) \int (c+d x) \cos (a+b x) \, dx}{b^2}-\frac {\left (6 d^2\right ) \int (c+d x) \log \left (1-e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}+\frac {\left (6 d^2\right ) \int (c+d x) \log \left (1+e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2} \\ & = -\frac {6 d (c+d x)^2 \text {arctanh}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {3 d (c+d x)^2 \cos (a+b x)}{b^2}-\frac {(c+d x)^3 \csc (a+b x)}{b}+\frac {6 i d^2 (c+d x) \operatorname {PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {6 i d^2 (c+d x) \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {6 d^2 (c+d x) \sin (a+b x)}{b^3}-\frac {(c+d x)^3 \sin (a+b x)}{b}-\frac {\left (6 i d^3\right ) \int \operatorname {PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}+\frac {\left (6 i d^3\right ) \int \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}-\frac {\left (6 d^3\right ) \int \sin (a+b x) \, dx}{b^3} \\ & = -\frac {6 d (c+d x)^2 \text {arctanh}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}+\frac {6 d^3 \cos (a+b x)}{b^4}-\frac {3 d (c+d x)^2 \cos (a+b x)}{b^2}-\frac {(c+d x)^3 \csc (a+b x)}{b}+\frac {6 i d^2 (c+d x) \operatorname {PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {6 i d^2 (c+d x) \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {6 d^2 (c+d x) \sin (a+b x)}{b^3}-\frac {(c+d x)^3 \sin (a+b x)}{b}-\frac {\left (6 d^3\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {\operatorname {PolyLog}(2,-x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {\left (6 d^3\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {\operatorname {PolyLog}(2,x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4} \\ & = -\frac {6 d (c+d x)^2 \text {arctanh}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}+\frac {6 d^3 \cos (a+b x)}{b^4}-\frac {3 d (c+d x)^2 \cos (a+b x)}{b^2}-\frac {(c+d x)^3 \csc (a+b x)}{b}+\frac {6 i d^2 (c+d x) \operatorname {PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {6 i d^2 (c+d x) \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {6 d^3 \operatorname {PolyLog}\left (3,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {6 d^3 \operatorname {PolyLog}\left (3,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {6 d^2 (c+d x) \sin (a+b x)}{b^3}-\frac {(c+d x)^3 \sin (a+b x)}{b} \\ \end{align*}

Mathematica [B] (verified)

Both result and optimal contain complex but leaf count is larger than twice the leaf count of optimal. \(539\) vs. \(2(216)=432\).

Time = 1.49 (sec) , antiderivative size = 539, normalized size of antiderivative = 2.50 \[ \int (c+d x)^3 \cos (a+b x) \cot ^2(a+b x) \, dx=\frac {\csc (a+b x) \left (-3 b^3 c^3+6 b c d^2-9 b^3 c^2 d x+6 b d^3 x-9 b^3 c d^2 x^2-3 b^3 d^3 x^3+b^3 c^3 \cos (2 (a+b x))-6 b c d^2 \cos (2 (a+b x))+3 b^3 c^2 d x \cos (2 (a+b x))-6 b d^3 x \cos (2 (a+b x))+3 b^3 c d^2 x^2 \cos (2 (a+b x))+b^3 d^3 x^3 \cos (2 (a+b x))+6 b^2 c^2 d \log \left (1-e^{i (a+b x)}\right ) \sin (a+b x)+12 b^2 c d^2 x \log \left (1-e^{i (a+b x)}\right ) \sin (a+b x)+6 b^2 d^3 x^2 \log \left (1-e^{i (a+b x)}\right ) \sin (a+b x)-6 b^2 c^2 d \log \left (1+e^{i (a+b x)}\right ) \sin (a+b x)-12 b^2 c d^2 x \log \left (1+e^{i (a+b x)}\right ) \sin (a+b x)-6 b^2 d^3 x^2 \log \left (1+e^{i (a+b x)}\right ) \sin (a+b x)+12 i b d^2 (c+d x) \operatorname {PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right ) \sin (a+b x)-12 i b d^2 (c+d x) \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right ) \sin (a+b x)-12 d^3 \operatorname {PolyLog}\left (3,-e^{i (a+b x)}\right ) \sin (a+b x)+12 d^3 \operatorname {PolyLog}\left (3,e^{i (a+b x)}\right ) \sin (a+b x)-3 b^2 c^2 d \sin (2 (a+b x))+6 d^3 \sin (2 (a+b x))-6 b^2 c d^2 x \sin (2 (a+b x))-3 b^2 d^3 x^2 \sin (2 (a+b x))\right )}{2 b^4} \]

[In]

Integrate[(c + d*x)^3*Cos[a + b*x]*Cot[a + b*x]^2,x]

[Out]

(Csc[a + b*x]*(-3*b^3*c^3 + 6*b*c*d^2 - 9*b^3*c^2*d*x + 6*b*d^3*x - 9*b^3*c*d^2*x^2 - 3*b^3*d^3*x^3 + b^3*c^3*
Cos[2*(a + b*x)] - 6*b*c*d^2*Cos[2*(a + b*x)] + 3*b^3*c^2*d*x*Cos[2*(a + b*x)] - 6*b*d^3*x*Cos[2*(a + b*x)] +
3*b^3*c*d^2*x^2*Cos[2*(a + b*x)] + b^3*d^3*x^3*Cos[2*(a + b*x)] + 6*b^2*c^2*d*Log[1 - E^(I*(a + b*x))]*Sin[a +
b*x] + 12*b^2*c*d^2*x*Log[1 - E^(I*(a + b*x))]*Sin[a + b*x] + 6*b^2*d^3*x^2*Log[1 - E^(I*(a + b*x))]*Sin[a +
b*x] - 6*b^2*c^2*d*Log[1 + E^(I*(a + b*x))]*Sin[a + b*x] - 12*b^2*c*d^2*x*Log[1 + E^(I*(a + b*x))]*Sin[a + b*x
] - 6*b^2*d^3*x^2*Log[1 + E^(I*(a + b*x))]*Sin[a + b*x] + (12*I)*b*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))]*
Sin[a + b*x] - (12*I)*b*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))]*Sin[a + b*x] - 12*d^3*PolyLog[3, -E^(I*(a +
b*x))]*Sin[a + b*x] + 12*d^3*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))]*Sin[a + b*x] - 3*b^2*c^2*d*Sin[2*(a + b*x)] + 6*d^3*S
in[2*(a + b*x)] - 6*b^2*c*d^2*x*Sin[2*(a + b*x)] - 3*b^2*d^3*x^2*Sin[2*(a + b*x)]))/(2*b^4)

Maple [B] (verified)

Both result and optimal contain complex but leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 648 vs. \(2 (204 ) = 408\).

Time = 2.56 (sec) , antiderivative size = 649, normalized size of antiderivative = 3.00

method	result	size
risch	\(-\frac {6 i d^{2} c \operatorname {polylog}\left (2, {\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right )}{b^{3}}-\frac {2 i \left (d^{3} x^{3}+3 c \,d^{2} x^{2}+3 c^{2} d x +c^{3}\right ) {\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}}{b \left ({\mathrm e}^{2 i \left (x b +a \right )}-1\right )}+\frac {6 i d^{2} c \operatorname {polylog}\left (2, -{\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right )}{b^{3}}-\frac {i \left (d^{3} x^{3} b^{3}+3 b^{3} c \,d^{2} x^{2}-3 i b^{2} d^{3} x^{2}+3 b^{3} c^{2} d x -6 i b^{2} c \,d^{2} x +b^{3} c^{3}-3 i b^{2} c^{2} d -6 b \,d^{3} x -6 c \,d^{2} b +6 i d^{3}\right ) {\mathrm e}^{-i \left (x b +a \right )}}{2 b^{4}}+\frac {i \left (d^{3} x^{3} b^{3}+3 b^{3} c \,d^{2} x^{2}+3 i b^{2} d^{3} x^{2}+3 b^{3} c^{2} d x +6 i b^{2} c \,d^{2} x +b^{3} c^{3}+3 i b^{2} c^{2} d -6 b \,d^{3} x -6 c \,d^{2} b -6 i d^{3}\right ) {\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}}{2 b^{4}}+\frac {12 d^{2} c a \,\operatorname {arctanh}\left ({\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right )}{b^{3}}-\frac {6 d^{3} a^{2} \operatorname {arctanh}\left ({\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right )}{b^{4}}+\frac {3 d^{3} \ln \left (1-{\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right ) x^{2}}{b^{2}}+\frac {6 d^{3} \operatorname {polylog}\left (3, {\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right )}{b^{4}}-\frac {3 d^{3} \ln \left ({\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}+1\right ) x^{2}}{b^{2}}-\frac {6 d^{3} \operatorname {polylog}\left (3, -{\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right )}{b^{4}}-\frac {3 d^{3} \ln \left (1-{\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right ) a^{2}}{b^{4}}+\frac {3 d^{3} \ln \left ({\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}+1\right ) a^{2}}{b^{4}}+\frac {6 d^{2} c \ln \left (1-{\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right ) x}{b^{2}}-\frac {6 d^{2} c \ln \left ({\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}+1\right ) x}{b^{2}}+\frac {6 d^{2} c \ln \left (1-{\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right ) a}{b^{3}}-\frac {6 d^{2} c \ln \left ({\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}+1\right ) a}{b^{3}}+\frac {6 i d^{3} \operatorname {polylog}\left (2, -{\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right ) x}{b^{3}}-\frac {6 i d^{3} \operatorname {polylog}\left (2, {\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right ) x}{b^{3}}-\frac {6 d \,c^{2} \operatorname {arctanh}\left ({\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right )}{b^{2}}\)	\(649\)

[In]

int((d*x+c)^3*cos(b*x+a)*cot(b*x+a)^2,x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

-6*I*d^2/b^3*c*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))-2*I*(d^3*x^3+3*c*d^2*x^2+3*c^2*d*x+c^3)*exp(I*(b*x+a))/b/(exp(2*I*(b*
x+a))-1)+6*I*d^2/b^3*c*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))-1/2*I*(d^3*x^3*b^3+3*b^3*c*d^2*x^2+3*b^3*c^2*d*x+b^3*c^3-3*I
*b^2*d^3*x^2-6*b*d^3*x-6*I*b^2*c*d^2*x-6*c*d^2*b-3*I*b^2*c^2*d+6*I*d^3)/b^4*exp(-I*(b*x+a))+1/2*I*(d^3*x^3*b^3
+3*b^3*c*d^2*x^2+3*b^3*c^2*d*x+b^3*c^3+3*I*b^2*d^3*x^2-6*b*d^3*x+6*I*b^2*c*d^2*x-6*c*d^2*b+3*I*b^2*c^2*d-6*I*d
^3)/b^4*exp(I*(b*x+a))+12*d^2/b^3*c*a*arctanh(exp(I*(b*x+a)))-6*d^3/b^4*a^2*arctanh(exp(I*(b*x+a)))+3*d^3/b^2*
ln(1-exp(I*(b*x+a)))*x^2+6*d^3*polylog(3,exp(I*(b*x+a)))/b^4-3*d^3/b^2*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*x^2-6*d^3*polylog(
3,-exp(I*(b*x+a)))/b^4-3*d^3/b^4*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*a^2+3*d^3/b^4*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*a^2+6*d^2/b^2*c*ln(1-
exp(I*(b*x+a)))*x-6*d^2/b^2*c*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*x+6*d^2/b^3*c*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*a-6*d^2/b^3*c*ln(exp(I*(
b*x+a))+1)*a+6*I*d^3/b^3*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))*x-6*I*d^3/b^3*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))*x-6*d/b^2*c^2*arct
anh(exp(I*(b*x+a)))

Fricas [B] (verification not implemented)

Both result and optimal contain complex but leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 797 vs. \(2 (200) = 400\).

Time = 0.32 (sec) , antiderivative size = 797, normalized size of antiderivative = 3.69 \[ \int (c+d x)^3 \cos (a+b x) \cot ^2(a+b x) \, dx=-\frac {4 \, b^{3} d^{3} x^{3} + 12 \, b^{3} c d^{2} x^{2} + 4 \, b^{3} c^{3} - 6 \, d^{3} {\rm polylog}\left (3, \cos \left (b x + a\right ) + i \, \sin \left (b x + a\right )\right ) \sin \left (b x + a\right ) - 6 \, d^{3} {\rm polylog}\left (3, \cos \left (b x + a\right ) - i \, \sin \left (b x + a\right )\right ) \sin \left (b x + a\right ) + 6 \, d^{3} {\rm polylog}\left (3, -\cos \left (b x + a\right ) + i \, \sin \left (b x + a\right )\right ) \sin \left (b x + a\right ) + 6 \, d^{3} {\rm polylog}\left (3, -\cos \left (b x + a\right ) - i \, \sin \left (b x + a\right )\right ) \sin \left (b x + a\right ) - 12 \, b c d^{2} - 2 \, {\left (b^{3} d^{3} x^{3} + 3 \, b^{3} c d^{2} x^{2} + b^{3} c^{3} - 6 \, b c d^{2} + 3 \, {\left (b^{3} c^{2} d - 2 \, b d^{3}\right )} x\right )} \cos \left (b x + a\right )^{2} + 6 \, {\left (b^{2} d^{3} x^{2} + 2 \, b^{2} c d^{2} x + b^{2} c^{2} d - 2 \, d^{3}\right )} \cos \left (b x + a\right ) \sin \left (b x + a\right ) + 6 \, {\left (i \, b d^{3} x + i \, b c d^{2}\right )} {\rm Li}_2\left (\cos \left (b x + a\right ) + i \, \sin \left (b x + a\right )\right ) \sin \left (b x + a\right ) + 6 \, {\left (-i \, b d^{3} x - i \, b c d^{2}\right )} {\rm Li}_2\left (\cos \left (b x + a\right ) - i \, \sin \left (b x + a\right )\right ) \sin \left (b x + a\right ) + 6 \, {\left (i \, b d^{3} x + i \, b c d^{2}\right )} {\rm Li}_2\left (-\cos \left (b x + a\right ) + i \, \sin \left (b x + a\right )\right ) \sin \left (b x + a\right ) + 6 \, {\left (-i \, b d^{3} x - i \, b c d^{2}\right )} {\rm Li}_2\left (-\cos \left (b x + a\right ) - i \, \sin \left (b x + a\right )\right ) \sin \left (b x + a\right ) + 3 \, {\left (b^{2} d^{3} x^{2} + 2 \, b^{2} c d^{2} x + b^{2} c^{2} d\right )} \log \left (\cos \left (b x + a\right ) + i \, \sin \left (b x + a\right ) + 1\right ) \sin \left (b x + a\right ) + 3 \, {\left (b^{2} d^{3} x^{2} + 2 \, b^{2} c d^{2} x + b^{2} c^{2} d\right )} \log \left (\cos \left (b x + a\right ) - i \, \sin \left (b x + a\right ) + 1\right ) \sin \left (b x + a\right ) - 3 \, {\left (b^{2} c^{2} d - 2 \, a b c d^{2} + a^{2} d^{3}\right )} \log \left (-\frac {1}{2} \, \cos \left (b x + a\right ) + \frac {1}{2} i \, \sin \left (b x + a\right ) + \frac {1}{2}\right ) \sin \left (b x + a\right ) - 3 \, {\left (b^{2} c^{2} d - 2 \, a b c d^{2} + a^{2} d^{3}\right )} \log \left (-\frac {1}{2} \, \cos \left (b x + a\right ) - \frac {1}{2} i \, \sin \left (b x + a\right ) + \frac {1}{2}\right ) \sin \left (b x + a\right ) - 3 \, {\left (b^{2} d^{3} x^{2} + 2 \, b^{2} c d^{2} x + 2 \, a b c d^{2} - a^{2} d^{3}\right )} \log \left (-\cos \left (b x + a\right ) + i \, \sin \left (b x + a\right ) + 1\right ) \sin \left (b x + a\right ) - 3 \, {\left (b^{2} d^{3} x^{2} + 2 \, b^{2} c d^{2} x + 2 \, a b c d^{2} - a^{2} d^{3}\right )} \log \left (-\cos \left (b x + a\right ) - i \, \sin \left (b x + a\right ) + 1\right ) \sin \left (b x + a\right ) + 12 \, {\left (b^{3} c^{2} d - b d^{3}\right )} x}{2 \, b^{4} \sin \left (b x + a\right )} \]

[In]

integrate((d*x+c)^3*cos(b*x+a)*cot(b*x+a)^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

-1/2*(4*b^3*d^3*x^3 + 12*b^3*c*d^2*x^2 + 4*b^3*c^3 - 6*d^3*polylog(3, cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a))*sin(b*x +
a) - 6*d^3*polylog(3, cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a))*sin(b*x + a) + 6*d^3*polylog(3, -cos(b*x + a) + I*sin(b*
x + a))*sin(b*x + a) + 6*d^3*polylog(3, -cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a))*sin(b*x + a) - 12*b*c*d^2 - 2*(b^3*d^3
*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 + b^3*c^3 - 6*b*c*d^2 + 3*(b^3*c^2*d - 2*b*d^3)*x)*cos(b*x + a)^2 + 6*(b^2*d^3*x^2 + 2*
b^2*c*d^2*x + b^2*c^2*d - 2*d^3)*cos(b*x + a)*sin(b*x + a) + 6*(I*b*d^3*x + I*b*c*d^2)*dilog(cos(b*x + a) + I*
sin(b*x + a))*sin(b*x + a) + 6*(-I*b*d^3*x - I*b*c*d^2)*dilog(cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a))*sin(b*x + a) + 6*
(I*b*d^3*x + I*b*c*d^2)*dilog(-cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a))*sin(b*x + a) + 6*(-I*b*d^3*x - I*b*c*d^2)*dilog(
-cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a))*sin(b*x + a) + 3*(b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x + b^2*c^2*d)*log(cos(b*x + a) +
I*sin(b*x + a) + 1)*sin(b*x + a) + 3*(b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x + b^2*c^2*d)*log(cos(b*x + a) - I*sin(b*x +
a) + 1)*sin(b*x + a) - 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*log(-1/2*cos(b*x + a) + 1/2*I*sin(b*x + a) + 1/2)
*sin(b*x + a) - 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*log(-1/2*cos(b*x + a) - 1/2*I*sin(b*x + a) + 1/2)*sin(b*
x + a) - 3*(b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x + 2*a*b*c*d^2 - a^2*d^3)*log(-cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + 1)*sin(b
*x + a) - 3*(b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x + 2*a*b*c*d^2 - a^2*d^3)*log(-cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + 1)*sin(
b*x + a) + 12*(b^3*c^2*d - b*d^3)*x)/(b^4*sin(b*x + a))

Sympy [F]

\[ \int (c+d x)^3 \cos (a+b x) \cot ^2(a+b x) \, dx=\int \left (c + d x\right )^{3} \cos {\left (a + b x \right )} \cot ^{2}{\left (a + b x \right )}\, dx \]

[In]

integrate((d*x+c)**3*cos(b*x+a)*cot(b*x+a)**2,x)

[Out]

Integral((c + d*x)**3*cos(a + b*x)*cot(a + b*x)**2, x)

Maxima [B] (verification not implemented)

Both result and optimal contain complex but leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 10994 vs. \(2 (200) = 400\).

Time = 1.31 (sec) , antiderivative size = 10994, normalized size of antiderivative = 50.90 \[ \int (c+d x)^3 \cos (a+b x) \cot ^2(a+b x) \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate((d*x+c)^3*cos(b*x+a)*cot(b*x+a)^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

-1/2*(2*c^3*(1/sin(b*x + a) + sin(b*x + a)) - 6*a*c^2*d*(1/sin(b*x + a) + sin(b*x + a))/b + 6*a^2*c*d^2*(1/sin
(b*x + a) + sin(b*x + a))/b^2 - 2*a^3*d^3*(1/sin(b*x + a) + sin(b*x + a))/b^3 - 3*(((b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a)
- cos(2*b*x + 2*a) + 1)*cos(3*b*x + 3*a)^3 + (b*x - (b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a) + a - sin(2*b*x + 2*a))*sin(3*
b*x + 3*a)^3 - 6*(b*x + a)*sin(b*x + a)^3 - 2*(4*(b*x + a)*cos(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a) - (3*(b*x + a)*sin(b*
x + a) + cos(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + 3*(b*x + a)*sin(b*x + a) + cos(b*x + a))*cos(3*b*x + 3*a)^2 - ((b*x
+ a)*sin(b*x + a) + cos(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a)^2 + (8*(b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a)*sin(b*x + a) + ((b*x + a)
*sin(2*b*x + 2*a) - cos(2*b*x + 2*a) + 1)*cos(3*b*x + 3*a) - 2*(3*(b*x + a)*cos(b*x + a) - sin(b*x + a))*sin(2
*b*x + 2*a) - 8*(b*x + a)*sin(b*x + a))*sin(3*b*x + 3*a)^2 - ((b*x + a)*sin(b*x + a) + cos(b*x + a))*sin(2*b*x
+ 2*a)^2 + (12*(b*x + a)*cos(b*x + a)*sin(b*x + a) - (12*(b*x + a)*cos(b*x + a)*sin(b*x + a) + cos(b*x + a)^2
+ sin(b*x + a)^2 + 2)*cos(2*b*x + 2*a) + cos(2*b*x + 2*a)^2 + cos(b*x + a)^2 + (13*(b*x + a)*cos(b*x + a)^2 +
(b*x + a)*sin(b*x + a)^2)*sin(2*b*x + 2*a) + sin(2*b*x + 2*a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 1)*cos(3*b*x + 3*a) + 2*(3
*(b*x + a)*sin(b*x + a)^3 + (3*(b*x + a)*cos(b*x + a)^2 + b*x + a)*sin(b*x + a) + cos(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*
a) - ((cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*cos(3*b*x + 3*a)^2 + (cos(b*x + a)^2
+ sin(b*x + a)^2)*cos(2*b*x + 2*a)^2 + (cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*sin(
3*b*x + 3*a)^2 + (cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*(cos(2*b*x + 2*a)^2*cos(b*x + a) + c
os(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a)*cos(b*x + a) + cos(b*x + a))*cos(3*b*x + 3*a) - 2*(cos(b*x
+ a)^2 + sin(b*x + a)^2)*cos(2*b*x + 2*a) + cos(b*x + a)^2 - 2*(cos(2*b*x + 2*a)^2*sin(b*x + a) + sin(2*b*x +
2*a)^2*sin(b*x + a) - 2*cos(2*b*x + 2*a)*sin(b*x + a) + sin(b*x + a))*sin(3*b*x + 3*a) + sin(b*x + a)^2)*log(
cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*cos(b*x + a) + 1) + ((cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*
x + 2*a) + 1)*cos(3*b*x + 3*a)^2 + (cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*cos(2*b*x + 2*a)^2 + (cos(2*b*x + 2*a)^2
+ sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*sin(3*b*x + 3*a)^2 + (cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*sin(2*b*
x + 2*a)^2 - 2*(cos(2*b*x + 2*a)^2*cos(b*x + a) + cos(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a)*cos(b*x
+ a) + cos(b*x + a))*cos(3*b*x + 3*a) - 2*(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*cos(2*b*x + 2*a) + cos(b*x + a)^2
- 2*(cos(2*b*x + 2*a)^2*sin(b*x + a) + sin(2*b*x + 2*a)^2*sin(b*x + a) - 2*cos(2*b*x + 2*a)*sin(b*x + a) + si
n(b*x + a))*sin(3*b*x + 3*a) + sin(b*x + a)^2)*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*cos(b*x + a) + 1) + ((b
*x - (b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a) + a - sin(2*b*x + 2*a))*cos(3*b*x + 3*a)^2 + (b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a)^2 + (b
*x + a)*cos(b*x + a)^2 + (b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 13*(b*x + a)*sin(b*x + a)^2 + b*x + 2*(((b*x + a)*cos(
b*x + a) + sin(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - (b*x + a)*cos(b*x + a) - ((b*x + a)*sin(b*x + a) - cos(b*x + a))*s
in(2*b*x + 2*a) - sin(b*x + a))*cos(3*b*x + 3*a) - ((b*x + a)*cos(b*x + a)^2 + 13*(b*x + a)*sin(b*x + a)^2 + 2
*b*x + 2*a)*cos(2*b*x + 2*a) + (12*(b*x + a)*cos(b*x + a)*sin(b*x + a) - cos(b*x + a)^2 - sin(b*x + a)^2)*sin(
2*b*x + 2*a) + a)*sin(3*b*x + 3*a) - 6*((b*x + a)*cos(b*x + a)^3 + (b*x + a)*cos(b*x + a)*sin(b*x + a)^2)*sin(
2*b*x + 2*a) - (6*(b*x + a)*cos(b*x + a)^2 + b*x + a)*sin(b*x + a) - cos(b*x + a))*c^2*d/(((cos(2*b*x + 2*a)^2
+ sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*cos(3*b*x + 3*a)^2 + (cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*cos(2*b
*x + 2*a)^2 + (cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*sin(3*b*x + 3*a)^2 + (cos(b*x
+ a)^2 + sin(b*x + a)^2)*sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*(cos(2*b*x + 2*a)^2*cos(b*x + a) + cos(b*x + a)*sin(2*b*x + 2
*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a)*cos(b*x + a) + cos(b*x + a))*cos(3*b*x + 3*a) - 2*(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)
*cos(2*b*x + 2*a) + cos(b*x + a)^2 - 2*(cos(2*b*x + 2*a)^2*sin(b*x + a) + sin(2*b*x + 2*a)^2*sin(b*x + a) - 2*
cos(2*b*x + 2*a)*sin(b*x + a) + sin(b*x + a))*sin(3*b*x + 3*a) + sin(b*x + a)^2)*b) + 6*(((b*x + a)*sin(2*b*x
+ 2*a) - cos(2*b*x + 2*a) + 1)*cos(3*b*x + 3*a)^3 + (b*x - (b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a) + a - sin(2*b*x + 2*a))*
sin(3*b*x + 3*a)^3 - 6*(b*x + a)*sin(b*x + a)^3 - 2*(4*(b*x + a)*cos(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a) - (3*(b*x + a)*
sin(b*x + a) + cos(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + 3*(b*x + a)*sin(b*x + a) + cos(b*x + a))*cos(3*b*x + 3*a)^2 -
((b*x + a)*sin(b*x + a) + cos(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a)^2 + (8*(b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a)*sin(b*x + a) + ((b*
x + a)*sin(2*b*x + 2*a) - cos(2*b*x + 2*a) + 1)*cos(3*b*x + 3*a) - 2*(3*(b*x + a)*cos(b*x + a) - sin(b*x + a))
*sin(2*b*x + 2*a) - 8*(b*x + a)*sin(b*x + a))*sin(3*b*x + 3*a)^2 - ((b*x + a)*sin(b*x + a) + cos(b*x + a))*sin
(2*b*x + 2*a)^2 + (12*(b*x + a)*cos(b*x + a)*sin(b*x + a) - (12*(b*x + a)*cos(b*x + a)*sin(b*x + a) + cos(b*x
+ a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2)*cos(2*b*x + 2*a) + cos(2*b*x + 2*a)^2 + cos(b*x + a)^2 + (13*(b*x + a)*cos(b*x +
a)^2 + (b*x + a)*sin(b*x + a)^2)*sin(2*b*x + 2*a) + sin(2*b*x + 2*a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 1)*cos(3*b*x + 3*a)
+ 2*(3*(b*x + a)*sin(b*x + a)^3 + (3*(b*x + a)*cos(b*x + a)^2 + b*x + a)*sin(b*x + a) + cos(b*x + a))*cos(2*b*
x + 2*a) - ((cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*cos(3*b*x + 3*a)^2 + (cos(b*x +
a)^2 + sin(b*x + a)^2)*cos(2*b*x + 2*a)^2 + (cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1
)*sin(3*b*x + 3*a)^2 + (cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*(cos(2*b*x + 2*a)^2*cos(b*x +
a) + cos(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a)*cos(b*x + a) + cos(b*x + a))*cos(3*b*x + 3*a) - 2*(c
os(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*cos(2*b*x + 2*a) + cos(b*x + a)^2 - 2*(cos(2*b*x + 2*a)^2*sin(b*x + a) + sin(2
*b*x + 2*a)^2*sin(b*x + a) - 2*cos(2*b*x + 2*a)*sin(b*x + a) + sin(b*x + a))*sin(3*b*x + 3*a) + sin(b*x + a)^2
)*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*cos(b*x + a) + 1) + ((cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*co
s(2*b*x + 2*a) + 1)*cos(3*b*x + 3*a)^2 + (cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*cos(2*b*x + 2*a)^2 + (cos(2*b*x + 2
*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*sin(3*b*x + 3*a)^2 + (cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*si
n(2*b*x + 2*a)^2 - 2*(cos(2*b*x + 2*a)^2*cos(b*x + a) + cos(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a)*c
os(b*x + a) + cos(b*x + a))*cos(3*b*x + 3*a) - 2*(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*cos(2*b*x + 2*a) + cos(b*x
+ a)^2 - 2*(cos(2*b*x + 2*a)^2*sin(b*x + a) + sin(2*b*x + 2*a)^2*sin(b*x + a) - 2*cos(2*b*x + 2*a)*sin(b*x + a
) + sin(b*x + a))*sin(3*b*x + 3*a) + sin(b*x + a)^2)*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*cos(b*x + a) + 1)
+ ((b*x - (b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a) + a - sin(2*b*x + 2*a))*cos(3*b*x + 3*a)^2 + (b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a)^
2 + (b*x + a)*cos(b*x + a)^2 + (b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 13*(b*x + a)*sin(b*x + a)^2 + b*x + 2*(((b*x + a
)*cos(b*x + a) + sin(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - (b*x + a)*cos(b*x + a) - ((b*x + a)*sin(b*x + a) - cos(b*x +
a))*sin(2*b*x + 2*a) - sin(b*x + a))*cos(3*b*x + 3*a) - ((b*x + a)*cos(b*x + a)^2 + 13*(b*x + a)*sin(b*x + a)
^2 + 2*b*x + 2*a)*cos(2*b*x + 2*a) + (12*(b*x + a)*cos(b*x + a)*sin(b*x + a) - cos(b*x + a)^2 - sin(b*x + a)^2
)*sin(2*b*x + 2*a) + a)*sin(3*b*x + 3*a) - 6*((b*x + a)*cos(b*x + a)^3 + (b*x + a)*cos(b*x + a)*sin(b*x + a)^2
)*sin(2*b*x + 2*a) - (6*(b*x + a)*cos(b*x + a)^2 + b*x + a)*sin(b*x + a) - cos(b*x + a))*a*c*d^2/(((cos(2*b*x
+ 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*cos(3*b*x + 3*a)^2 + (cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)
*cos(2*b*x + 2*a)^2 + (cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*sin(3*b*x + 3*a)^2 +
(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*(cos(2*b*x + 2*a)^2*cos(b*x + a) + cos(b*x + a)*sin(2
*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a)*cos(b*x + a) + cos(b*x + a))*cos(3*b*x + 3*a) - 2*(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x
+ a)^2)*cos(2*b*x + 2*a) + cos(b*x + a)^2 - 2*(cos(2*b*x + 2*a)^2*sin(b*x + a) + sin(2*b*x + 2*a)^2*sin(b*x +
a) - 2*cos(2*b*x + 2*a)*sin(b*x + a) + sin(b*x + a))*sin(3*b*x + 3*a) + sin(b*x + a)^2)*b^2) - 3*(((b*x + a)*
sin(2*b*x + 2*a) - cos(2*b*x + 2*a) + 1)*cos(3*b*x + 3*a)^3 + (b*x - (b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a) + a - sin(2*b*
x + 2*a))*sin(3*b*x + 3*a)^3 - 6*(b*x + a)*sin(b*x + a)^3 - 2*(4*(b*x + a)*cos(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a) - (3*
(b*x + a)*sin(b*x + a) + cos(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + 3*(b*x + a)*sin(b*x + a) + cos(b*x + a))*cos(3*b*x +
3*a)^2 - ((b*x + a)*sin(b*x + a) + cos(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a)^2 + (8*(b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a)*sin(b*x +
a) + ((b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a) - cos(2*b*x + 2*a) + 1)*cos(3*b*x + 3*a) - 2*(3*(b*x + a)*cos(b*x + a) - sin
(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a) - 8*(b*x + a)*sin(b*x + a))*sin(3*b*x + 3*a)^2 - ((b*x + a)*sin(b*x + a) + cos(b*x
+ a))*sin(2*b*x + 2*a)^2 + (12*(b*x + a)*cos(b*x + a)*sin(b*x + a) - (12*(b*x + a)*cos(b*x + a)*sin(b*x + a)
+ cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2)*cos(2*b*x + 2*a) + cos(2*b*x + 2*a)^2 + cos(b*x + a)^2 + (13*(b*x + a)*
cos(b*x + a)^2 + (b*x + a)*sin(b*x + a)^2)*sin(2*b*x + 2*a) + sin(2*b*x + 2*a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 1)*cos(3*b
*x + 3*a) + 2*(3*(b*x + a)*sin(b*x + a)^3 + (3*(b*x + a)*cos(b*x + a)^2 + b*x + a)*sin(b*x + a) + cos(b*x + a)
)*cos(2*b*x + 2*a) - ((cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*cos(3*b*x + 3*a)^2 +
(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*cos(2*b*x + 2*a)^2 + (cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x
+ 2*a) + 1)*sin(3*b*x + 3*a)^2 + (cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*(cos(2*b*x + 2*a)^2*
cos(b*x + a) + cos(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a)*cos(b*x + a) + cos(b*x + a))*cos(3*b*x + 3
*a) - 2*(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*cos(2*b*x + 2*a) + cos(b*x + a)^2 - 2*(cos(2*b*x + 2*a)^2*sin(b*x +
a) + sin(2*b*x + 2*a)^2*sin(b*x + a) - 2*cos(2*b*x + 2*a)*sin(b*x + a) + sin(b*x + a))*sin(3*b*x + 3*a) + sin(
b*x + a)^2)*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*cos(b*x + a) + 1) + ((cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a
)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*cos(3*b*x + 3*a)^2 + (cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*cos(2*b*x + 2*a)^2 + (cos
(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*sin(3*b*x + 3*a)^2 + (cos(b*x + a)^2 + sin(b*x
+ a)^2)*sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*(cos(2*b*x + 2*a)^2*cos(b*x + a) + cos(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*
x + 2*a)*cos(b*x + a) + cos(b*x + a))*cos(3*b*x + 3*a) - 2*(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*cos(2*b*x + 2*a)
+ cos(b*x + a)^2 - 2*(cos(2*b*x + 2*a)^2*sin(b*x + a) + sin(2*b*x + 2*a)^2*sin(b*x + a) - 2*cos(2*b*x + 2*a)*s
in(b*x + a) + sin(b*x + a))*sin(3*b*x + 3*a) + sin(b*x + a)^2)*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*cos(b*x
+ a) + 1) + ((b*x - (b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a) + a - sin(2*b*x + 2*a))*cos(3*b*x + 3*a)^2 + (b*x + a)*cos(2*b
*x + 2*a)^2 + (b*x + a)*cos(b*x + a)^2 + (b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 13*(b*x + a)*sin(b*x + a)^2 + b*x + 2*
(((b*x + a)*cos(b*x + a) + sin(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - (b*x + a)*cos(b*x + a) - ((b*x + a)*sin(b*x + a) -
cos(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a) - sin(b*x + a))*cos(3*b*x + 3*a) - ((b*x + a)*cos(b*x + a)^2 + 13*(b*x + a)*si
n(b*x + a)^2 + 2*b*x + 2*a)*cos(2*b*x + 2*a) + (12*(b*x + a)*cos(b*x + a)*sin(b*x + a) - cos(b*x + a)^2 - sin(
b*x + a)^2)*sin(2*b*x + 2*a) + a)*sin(3*b*x + 3*a) - 6*((b*x + a)*cos(b*x + a)^3 + (b*x + a)*cos(b*x + a)*sin(
b*x + a)^2)*sin(2*b*x + 2*a) - (6*(b*x + a)*cos(b*x + a)^2 + b*x + a)*sin(b*x + a) - cos(b*x + a))*a^2*d^3/(((
cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*cos(3*b*x + 3*a)^2 + (cos(b*x + a)^2 + sin(b
*x + a)^2)*cos(2*b*x + 2*a)^2 + (cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*sin(3*b*x +
3*a)^2 + (cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*(cos(2*b*x + 2*a)^2*cos(b*x + a) + cos(b*x
+ a)*sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a)*cos(b*x + a) + cos(b*x + a))*cos(3*b*x + 3*a) - 2*(cos(b*x + a)^2
+ sin(b*x + a)^2)*cos(2*b*x + 2*a) + cos(b*x + a)^2 - 2*(cos(2*b*x + 2*a)^2*sin(b*x + a) + sin(2*b*x + 2*a)^2
*sin(b*x + a) - 2*cos(2*b*x + 2*a)*sin(b*x + a) + sin(b*x + a))*sin(3*b*x + 3*a) + sin(b*x + a)^2)*b^3) - (-I*
(b*x + a)^3*d^3 + 6*I*b*c*d^2 - 6*(I*a - 1)*d^3 - 3*(I*b*c*d^2 + (-I*a + 1)*d^3)*(b*x + a)^2 + (I*(b*x + a)^3*
d^3 - 6*I*b*c*d^2 - 6*(-I*a - 1)*d^3 - 3*(-I*b*c*d^2 + (I*a + 1)*d^3)*(b*x + a)^2 - 6*(b*c*d^2 - (a - I)*d^3)*
(b*x + a))*cos(3*b*x + 3*a)^2 - 6*(-I*(b*x + a)^3*d^3 + 2*I*b*c*d^2 + 2*I*(b*x + a)*d^3 - 2*I*a*d^3 + 3*(-I*b*
c*d^2 + I*a*d^3)*(b*x + a)^2)*cos(b*x + a)^2 + (-I*(b*x + a)^3*d^3 + 6*I*b*c*d^2 - 6*(I*a + 1)*d^3 - 3*(I*b*c*
d^2 + (-I*a - 1)*d^3)*(b*x + a)^2 + 6*(b*c*d^2 - (a - I)*d^3)*(b*x + a))*sin(3*b*x + 3*a)^2 - 12*((b*x + a)^3*
d^3 - 2*b*c*d^2 - 2*(b*x + a)*d^3 + 2*a*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2)*cos(b*x + a)*sin(b*x + a) - 6*(
I*(b*x + a)^3*d^3 - 2*I*b*c*d^2 - 2*I*(b*x + a)*d^3 + 2*I*a*d^3 + 3*(I*b*c*d^2 - I*a*d^3)*(b*x + a)^2)*sin(b*x
+ a)^2 - 6*(b*c*d^2 - (a + I)*d^3)*(b*x + a) - 6*((-I*(b*x + a)^2*d^3 + 2*(-I*b*c*d^2 + I*a*d^3)*(b*x + a) +
(I*(b*x + a)^2*d^3 + 2*(I*b*c*d^2 - I*a*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - ((b*x + a)^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d
^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*cos(3*b*x + 3*a) + ((-I*(b*x + a)^2*d^3 + 2*(-I*b*c*d^2 + I*a*d^3)*(b*x + a))
*cos(b*x + a) + ((b*x + a)^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*sin(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + (I*(b*x + a
)^2*d^3 + 2*(I*b*c*d^2 - I*a*d^3)*(b*x + a))*cos(b*x + a) + ((b*x + a)^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a) -
((b*x + a)^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + (-I*(b*x + a)^2*d^3 + 2*(-I*b*c*d^2 + I*
a*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*sin(3*b*x + 3*a) + (((b*x + a)^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(
b*x + a) + (I*(b*x + a)^2*d^3 + 2*(I*b*c*d^2 - I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a) - ((b*x + a)
^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*sin(b*x + a))*arctan2(sin(b*x + a), cos(b*x + a) + 1) - 6*((-I*(b*x +
a)^2*d^3 + 2*(-I*b*c*d^2 + I*a*d^3)*(b*x + a) + (I*(b*x + a)^2*d^3 + 2*(I*b*c*d^2 - I*a*d^3)*(b*x + a))*cos(2*
b*x + 2*a) - ((b*x + a)^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*cos(3*b*x + 3*a) + ((-I*(b*x
+ a)^2*d^3 + 2*(-I*b*c*d^2 + I*a*d^3)*(b*x + a))*cos(b*x + a) + ((b*x + a)^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x +
a))*sin(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + (I*(b*x + a)^2*d^3 + 2*(I*b*c*d^2 - I*a*d^3)*(b*x + a))*cos(b*x + a) + ((
b*x + a)^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a) - ((b*x + a)^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x +
2*a) + (-I*(b*x + a)^2*d^3 + 2*(-I*b*c*d^2 + I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*sin(3*b*x + 3*a) + (((b*x
+ a)^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(b*x + a) + (I*(b*x + a)^2*d^3 + 2*(I*b*c*d^2 - I*a*d^3)*(b*x +
a))*sin(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a) - ((b*x + a)^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*sin(b*x + a))*arctan2(
sin(b*x + a), -cos(b*x + a) + 1) + ((-7*I*(b*x + a)^3*d^3 + 18*I*b*c*d^2 - 6*(3*I*a + 1)*d^3 - 3*(7*I*b*c*d^2
+ (-7*I*a - 1)*d^3)*(b*x + a)^2 + 6*(b*c*d^2 - (a - 3*I)*d^3)*(b*x + a))*cos(b*x + a) + (7*(b*x + a)^3*d^3 - 1
8*b*c*d^2 + 6*(3*a - I)*d^3 + 3*(7*b*c*d^2 - (7*a - I)*d^3)*(b*x + a)^2 - 6*(-I*b*c*d^2 + (I*a + 3)*d^3)*(b*x
+ a))*sin(b*x + a))*cos(3*b*x + 3*a) + (I*(b*x + a)^3*d^3 - 6*I*b*c*d^2 - 6*(-I*a + 1)*d^3 - 3*(-I*b*c*d^2 + (
I*a - 1)*d^3)*(b*x + a)^2 + 6*(b*c*d^2 - (a + I)*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - 12*((I*b*c*d^2 + I*(b*x +
a)*d^3 - I*a*d^3 + (-I*b*c*d^2 - I*(b*x + a)*d^3 + I*a*d^3)*cos(2*b*x + 2*a) + (b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^
3)*sin(2*b*x + 2*a))*cos(3*b*x + 3*a) + ((I*b*c*d^2 + I*(b*x + a)*d^3 - I*a*d^3)*cos(b*x + a) - (b*c*d^2 + (b*
x + a)*d^3 - a*d^3)*sin(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + (-I*b*c*d^2 - I*(b*x + a)*d^3 + I*a*d^3)*cos(b*x + a) - (
b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3 - (b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*cos(2*b*x + 2*a) - (I*b*c*d^2 + I*(b*x + a
)*d^3 - I*a*d^3)*sin(2*b*x + 2*a))*sin(3*b*x + 3*a) - ((b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*cos(b*x + a) - (-I*b*
c*d^2 - I*(b*x + a)*d^3 + I*a*d^3)*sin(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a) + (b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*sin(b*x
+ a))*dilog(-e^(I*b*x + I*a)) - 12*((-I*b*c*d^2 - I*(b*x + a)*d^3 + I*a*d^3 + (I*b*c*d^2 + I*(b*x + a)*d^3 - I
*a*d^3)*cos(2*b*x + 2*a) - (b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*sin(2*b*x + 2*a))*cos(3*b*x + 3*a) + ((-I*b*c*d^2
- I*(b*x + a)*d^3 + I*a*d^3)*cos(b*x + a) + (b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*sin(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a)
+ (I*b*c*d^2 + I*(b*x + a)*d^3 - I*a*d^3)*cos(b*x + a) + (b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3 - (b*c*d^2 + (b*x +
a)*d^3 - a*d^3)*cos(2*b*x + 2*a) + (-I*b*c*d^2 - I*(b*x + a)*d^3 + I*a*d^3)*sin(2*b*x + 2*a))*sin(3*b*x + 3*a)
+ ((b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*cos(b*x + a) + (I*b*c*d^2 + I*(b*x + a)*d^3 - I*a*d^3)*sin(b*x + a))*sin
(2*b*x + 2*a) - (b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*sin(b*x + a))*dilog(e^(I*b*x + I*a)) + 3*(((b*x + a)^2*d^3 +
2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a) - ((b*x + a)^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - (I*(b*x
+ a)^2*d^3 + 2*(I*b*c*d^2 - I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*cos(3*b*x + 3*a) + (((b*x + a)^2*d^3 + 2*(b*
c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(b*x + a) - (-I*(b*x + a)^2*d^3 + 2*(-I*b*c*d^2 + I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(b*x + a
))*cos(2*b*x + 2*a) - ((b*x + a)^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(b*x + a) - (-I*(b*x + a)^2*d^3 + 2
*(-I*b*c*d^2 + I*a*d^3)*(b*x + a) + (I*(b*x + a)^2*d^3 + 2*(I*b*c*d^2 - I*a*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) -
((b*x + a)^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*sin(3*b*x + 3*a) - ((-I*(b*x + a)^2*d^3 +
2*(-I*b*c*d^2 + I*a*d^3)*(b*x + a))*cos(b*x + a) + ((b*x + a)^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*sin(b*x
+ a))*sin(2*b*x + 2*a) - (I*(b*x + a)^2*d^3 + 2*(I*b*c*d^2 - I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(b*x + a))*log(cos(b*x + a
)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*cos(b*x + a) + 1) - 3*(((b*x + a)^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a) - ((b*x + a)^
2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + (-I*(b*x + a)^2*d^3 + 2*(-I*b*c*d^2 + I*a*d^3)*(b*x
+ a))*sin(2*b*x + 2*a))*cos(3*b*x + 3*a) + (((b*x + a)^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(b*x + a) + (
I*(b*x + a)^2*d^3 + 2*(I*b*c*d^2 - I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - ((b*x + a)^2*d^3 + 2*(
b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(b*x + a) + (I*(b*x + a)^2*d^3 + 2*(I*b*c*d^2 - I*a*d^3)*(b*x + a) + (-I*(b*x +
a)^2*d^3 + 2*(-I*b*c*d^2 + I*a*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + ((b*x + a)^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x
+ a))*sin(2*b*x + 2*a))*sin(3*b*x + 3*a) + ((I*(b*x + a)^2*d^3 + 2*(I*b*c*d^2 - I*a*d^3)*(b*x + a))*cos(b*x +
a) - ((b*x + a)^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*sin(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a) + (-I*(b*x + a)^2*d^3 +
2*(-I*b*c*d^2 + I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(b*x + a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*cos(b*x + a) + 1) -
12*(d^3*cos(b*x + a) + I*d^3*sin(b*x + a) + (d^3*cos(2*b*x + 2*a) + I*d^3*sin(2*b*x + 2*a) - d^3)*cos(3*b*x +
3*a) - (d^3*cos(b*x + a) + I*d^3*sin(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + (I*d^3*cos(2*b*x + 2*a) - d^3*sin(2*b*x + 2
*a) - I*d^3)*sin(3*b*x + 3*a) + (-I*d^3*cos(b*x + a) + d^3*sin(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*polylog(3, -e^(I*b*
x + I*a)) + 12*(d^3*cos(b*x + a) + I*d^3*sin(b*x + a) + (d^3*cos(2*b*x + 2*a) + I*d^3*sin(2*b*x + 2*a) - d^3)*
cos(3*b*x + 3*a) - (d^3*cos(b*x + a) + I*d^3*sin(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - (-I*d^3*cos(2*b*x + 2*a) + d^3*s
in(2*b*x + 2*a) + I*d^3)*sin(3*b*x + 3*a) - (I*d^3*cos(b*x + a) - d^3*sin(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*polylog(
3, e^(I*b*x + I*a)) - (2*((b*x + a)^3*d^3 - 6*b*c*d^2 + 6*(a - I)*d^3 + 3*(b*c*d^2 - (a - I)*d^3)*(b*x + a)^2
+ 6*(I*b*c*d^2 + (-I*a - 1)*d^3)*(b*x + a))*cos(3*b*x + 3*a) - (7*(b*x + a)^3*d^3 - 18*b*c*d^2 + 6*(3*a - I)*d
^3 + 3*(7*b*c*d^2 - (7*a - I)*d^3)*(b*x + a)^2 - 6*(-I*b*c*d^2 + (I*a + 3)*d^3)*(b*x + a))*cos(b*x + a) - (7*I
*(b*x + a)^3*d^3 - 18*I*b*c*d^2 - 6*(-3*I*a - 1)*d^3 - 3*(-7*I*b*c*d^2 + (7*I*a + 1)*d^3)*(b*x + a)^2 - 6*(b*c
*d^2 - (a - 3*I)*d^3)*(b*x + a))*sin(b*x + a))*sin(3*b*x + 3*a) - ((b*x + a)^3*d^3 - 6*b*c*d^2 + 6*(a + I)*d^3
+ 3*(b*c*d^2 - (a + I)*d^3)*(b*x + a)^2 + 6*(-I*b*c*d^2 + (I*a - 1)*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))/(b^3*co
s(b*x + a) + I*b^3*sin(b*x + a) + (b^3*cos(2*b*x + 2*a) + I*b^3*sin(2*b*x + 2*a) - b^3)*cos(3*b*x + 3*a) - (b^
3*cos(b*x + a) + I*b^3*sin(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + (I*b^3*cos(2*b*x + 2*a) - b^3*sin(2*b*x + 2*a) - I*b^3
)*sin(3*b*x + 3*a) + (-I*b^3*cos(b*x + a) + b^3*sin(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a)))/b

Giac [F]

\[ \int (c+d x)^3 \cos (a+b x) \cot ^2(a+b x) \, dx=\int { {\left (d x + c\right )}^{3} \cos \left (b x + a\right ) \cot \left (b x + a\right )^{2} \,d x } \]

[In]

integrate((d*x+c)^3*cos(b*x+a)*cot(b*x+a)^2,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((d*x + c)^3*cos(b*x + a)*cot(b*x + a)^2, x)

Mupad [F(-1)]

Timed out. \[ \int (c+d x)^3 \cos (a+b x) \cot ^2(a+b x) \, dx=\int \cos \left (a+b\,x\right )\,{\mathrm {cot}\left (a+b\,x\right )}^2\,{\left (c+d\,x\right )}^3 \,d x \]

[In]

int(cos(a + b*x)*cot(a + b*x)^2*(c + d*x)^3,x)

[Out]

int(cos(a + b*x)*cot(a + b*x)^2*(c + d*x)^3, x)